Exercícios Resolvidos (Formas Trigonométrica de um número complexo)

Outros Exercícios.

Forma Trigonométrica De Um Número Complexo.

Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im (z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0). 
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 
senӨ = b/p → b = p*senӨ 


Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 
Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações. 

Exemplo 1 
Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. 
Resolução: 
Temos que a = 1 e b = 1 



A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i). 


Exemplo 2 
Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i. 
Resolução: 
a = –√3 e b = 1 


A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

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Exercícios Resolvidos (Plano De Argand Graus).

Exercícios. (Plano De Argand Graus)

Gabarito.

Plano De Argand Graus.

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário. 
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos: 

Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss. 

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|. 

A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento O P, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos: 

Exemplo 
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i. 

Módulo 
a = 1 e b = 2 



Argumento
Ө = Arg(z) 

Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.  

Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.

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Exercicios de Fixação de Numeros Complexos.

Questões Para Você Desenvolver.

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:



a) 1 + 11i

b) 1 + 31i

c) 29 + 11i

d) 29 - 11i

e) 29 + 31i



RESPOSTA: C



02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:



a) i

b) -i + 1

c) i - 1

d) i + 1

e) -i



RESPOSTA: C



03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?



a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos



RESPOSTA: C



04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:



a) zero

b) i

c) -i

d) 1

e) -1



RESPOSTA: A



05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:



a) 1

b) -i

c) 2i

d) -i/2

e) i/2



RESPOSTA: E



06. A potência (1 - i )16 equivale a:



a) 8

b) 16 - 4i

c) 16 - 16i

d) 256 - 16i

e) 256



RESPOSTA: E



07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a: 



a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1



RESPOSTA: E



08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:



a) -1

b) -i

c) i

d) i4

e) i5



RESPOSTA: D



09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.



RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i



10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.



RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

 

Outros Exercícios

1.  Calcule as seguintes somas:

             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos: