terça-feira, 23 de outubro de 2012

Exercícios : Cálculos de Figuras Planas.


Vídeo: Conceitos Gerais De Figuras Planas (Triângulo).



Calculo da Área Do Triângulo.

1) A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?
Do enunciado temos:
Utilizando a fórmula:
RespostaA área deste triângulo é 12,25 cm2.

2) Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?
Segundo o enunciado temos:
Substituindo na fórmula:
RespostaA área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.

Calculo da Área Do Paralelograma

1) A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?
Segundo o enunciado temos:
Substituindo na fórmula:
RespostaA área deste polígono é 7,8 dm2.

2) Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
Substituindo na fórmula:
RespostaA medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.

Calculo da Área Do Quadrado

1) A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?
Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:
Substituindo na fórmula temos:
RespostaPortanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2.
2) A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
Como o lado mede 20 cm, temos:
Substituindo na fórmula temos:
RespostaA área do quadrado é de 400 cm2.
3) A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?
Temos que S é igual a 196.
Utilizando a fórmula temos:
RespostaComo a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm.


Calculo da Área Do Retângulo



1) Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?
Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:
Utilizando a fórmula:
RespostaA área deste terreno é de 125 m2.

2) A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?
Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:
Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:
RespostaPortanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm2.

Calculo da Área Do Circulo


1) A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:
Substituindo-o na fórmula:
RespostaA área da lente da lupa é de 78,54 cm2.



Cilindro

Cilindro

1- Classificação

Um cilindro pode ser classificado em:


a) Cilindro oblíquo:

Quando as geratrizes são oblíquas às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um paralelogramo.



b) Cilindro reto:


Quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um retângulo. Num cilindro reto, a geratriz e a altura são iguais (g = h).

Se a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2R, então a secção meridiana é um quadrado e o cilindro é chamado cilindro equilátero.








2- Áreas e volumes














Exercícios Resolvidos de Geometria Espacial


1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:

Resolução:




2) Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base é um losango cujas diagonais medem 7m e 10m.


Resolução:






3)  Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do individuo , em litros, é:


Resolução:



4) Se o apótema de uma pirâmide mede 17m e o apótema da base mede 8m, qual é a altura da pirâmide?


Resolução:


5) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.



Resolução:






Prismas

Prismas

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a uma reta r.




Os planos a e b são paralelos e a altura do prisma é dada pela distância entre os planos a e b. 

Considere o prisma:





• Área lateral (Al): É a soma das áreas das faces laterais.
• Área da base: É a área Ab da base do prisma.
• Área total: É a área At de todas as faces do prisma.


At = Al + 2 . Ab



Volume: O volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base Ab pela altura h.


V = Ab . h



Paralelepípedo e Cubo


Paralelepípedo Retângulo


É um paralelepípedo reto cujas faces são retângulos.












Cubo



Quando as três dimensões são iguais, ou seja, o paralelepípedo é denominado cubo.




Pirâmide

Pirâmide 



Classificação


 Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do
vértice coincide com o centro da base. As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base:






h = Altura da pirâmide
L = Aresta lateral
l = Aresta da base
a = Apótema da base
A = Apótema da pirâmide


Nomenclaturas






  Numa pirâmide regular, convém destacar: O polígono da base é regular, de lado l, e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = R, chamado raio da base. O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por mAs arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por aAs faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.


Área Total e Volume 



• Caso particular (tetraedro regular)

É toda pirâmide triangular que possui todas as arestas congruentes.











Tronco de Pirâmide

 Quando um plano intercepta todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente à base, formam-se outros dois sólidos geométricos: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide.







Faremos o estudo do tronco de pirâmide e seus elementos, área total e volume. O tronco de pirâmide é a parte da figura com arestas destacadas em azul.

Cálculo da área total do tronco de Pirâmide.


Observe que o tronco de pirâmide é composto por duas bases (base maior e base menor) e as faces laterais. Sua área total é dada pela soma das áreas das bases e das faces laterais. Ou seja:

A= A+ Ab+ AL

Onde

AT → é a área total.
AB → é a área da base maior.
Ab → é a área da base menor.
AL → é a área lateral.

Note que as faces laterais de qualquer tronco de pirâmide são formadas por trapézios isósceles congruentes.


Cálculo do volume do tronco de Pirâmide.


O volume do tronco de pirâmide é dado em função das áreas das bases e da altura h. A fórmula para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide qualquer é a seguinte:


Onde

h → é a altura do tronco de pirâmide.
AB → é a área da base maior.
Ab → é a área da base menor.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Uma pirâmide de base quadrangular é seccionada por um plano paralelo à sua base, a uma altura de 6 cm, produzindo um tronco. Sabendo que a base maior é um quadrado de lado com medida de 8 cm e que a base menor do tronco formado é um quadrado de lado com medida de 3 cm, calcule seu volume.

Solução: Para calcular o volume do tronco de pirâmide é necessário calcular, antes, as áreas das bases maior e menor. Como as bases são quadrados, temos que:

A= L= 8= 64
A= l2=3= 9
Também sabemos que a altura do tronco é 6 cm, pois é a altura em que o plano intercepta todas as arestas da pirâmide.
Assim, o volume do tronco da pirâmide será:



Exemplo 2. Um frasco de perfume apresenta o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada. Se a altura do frasco é de 5 cm, o lado da base menor mede 2 cm e o da base maior 6 cm, calcule a capacidade desse frasco.

Solução: Sabemos que o frasco tem o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada de altura 5 cm. Vamos calcular a área das bases desse tronco para determinar o valor do volume.

AB= L= 6= 36
Ab= l= 2= 4

Assim, o volume será dado por: