Uma seção para você se ligar a Matemática

Geometria Plana

            A geometria plana, também chamada de geometria elementar ou Euclidiana, teve inicio na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.

Ponto: Não tem definição.

Segmento de Reta: Possui INÍCIO e FIM.

Semi-Reta: Tem INÍCIO e não tem FIM.

Reta: Não tem INÍCIO e nem FIM.

Angulo

1.Definição

     É a figura determinada por duas semi-retas de mesma origem.

Representações:

Ô, AÔB, BÔA ou uma letra grega.

A unidade usada para medir ângulos é o GRAU que possui dois submúltiplos: minuto e

segundo.

1º = 60’

1’ = 60”

Entretanto pode-se completar a definição de ângulo, dizendo-se que ângulo é nulo (0 graus) quando seus lados coincidem e raso (180 graus) quando seus lados são semi-retas opostas.

2- Bissetriz

É a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos iguais.

3- Classificação

a) Reto

Quando mede 90º

b) Agudo

Quando sua medida está entre 0º e 90º.

c) Obtuso

Quando sua medida está entre 90º e 180º

4- Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V)

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro.

5- Ângulos complementares e ângulos suplementares

a) Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º - Ex.: 30º e 60º

b) Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º - Ex.: 60º e 120º

Poliedros

Definição:

  Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos, de modo que:

• dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
• cada lado de um polígono é comum a dois somente dois polígonos.

Os polígonos são denominados faces do poliedro. os lados e os vértices dos polígonos denominam-se respectivamente, arestas e vértices do poliedro. 

Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer uma de suas faces, está todo num mesmo semiespaço determinado pelo plano que contém essa face. Caso ao contrário o poliedro e dito não convexo.

Observe um exemplo de poliedro não convexo.

De acordo com os números de faces, os poliedros convexos possuem nomes especiais.

   

Poliedros Regulares.

   são sólidos cujas faces são polígonos regulares e geometricamente iguais.

   Platão (sábio grego que viveu por volta dos 400 anos a.C) foi quem estudou os polígonos regulares e por isso são designados sólidos de Platão e estavam relacionados na Grécia Antiga às forças da Natureza.

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo vale a relação:

A + 2 = V + F                     ou                            V - A + F = 2

Em que:

• V: número de vértices
• A: número de arestas
• F: números de faces

Exemplos:

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6

Portanto, o sólido possui 6 faces.

Exemplo 2 :

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

   Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices                          Arestas                             Faces
V – A + F = 2                  V – A + F = 2                    V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2                   5 – A + 5 = 2                     5 – 8 + F = 2
V = 2 + 3                            –A = 2 – 1                        0–3 + F = 2
V = 5                              –A = –8 x(–1)                          F = 2 + 3

                                                  A = 8                                F = 5

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

Área Das Principais Figuras Planas

1- Quadrilátero

a) Quadrado

b) Retângulo

                        

c) Paralelogramo

d) Losango

e) Trapézio

2- Triângulos

a)   Sendo dadas: base e altura

b) Sendo dados: os três lados

c) Triângulo equilátero

d) Triângulo retângulo

Assista ao Vídeo para melhor aprendizagem do conteúdo.

Geometria Espacial

Prismas

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a uma reta r.

Os planos a e b são paralelos e a altura do prisma é dada pela distância entre os planos a e b. 

Considere o prisma:

• Área lateral (Al): É a soma das áreas das faces laterais.

• Área da base: É a área Ab da base do prisma.

• Área total: É a área At de todas as faces do prisma.

At = Al + 2 . Ab

Volume: O volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base Ab pela altura h.

V = Ab . h

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

É um paralelepípedo reto cujas faces são retângulos.

Cubo

Quando as três dimensões são iguais, ou seja, o paralelepípedo é denominado cubo.

Pirâmide 

Classificação

 Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do

vértice coincide com o centro da base. As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base:

h = Altura da pirâmide

L = Aresta lateral

l = Aresta da base

a = Apótema da base

A = Apótema da pirâmide

Nomenclaturas

  Numa pirâmide regular, convém destacar: O polígono da base é regular, de lado l, e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = R, chamado raio da base. O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m. As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.

Área Total e Volume 

• Caso particular (tetraedro regular)

É toda pirâmide triangular que possui todas as arestas congruentes.

Tronco de Pirâmide

 Quando um plano intercepta todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente à base, formam-se outros dois sólidos geométricos: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide.

Faremos o estudo do tronco de pirâmide e seus elementos, área total e volume. O tronco de pirâmide é a parte da figura com arestas destacadas em azul.

Cálculo da área total do tronco de Pirâmide.

Observe que o tronco de pirâmide é composto por duas bases (base maior e base menor) e as faces laterais. Sua área total é dada pela soma das áreas das bases e das faces laterais. Ou seja:

A_T = A_B + A_b+ A_L

Onde

A_T → é a área total.
A_B → é a área da base maior.
A_b → é a área da base menor.
A_L → é a área lateral.

Note que as faces laterais de qualquer tronco de pirâmide são formadas por trapézios isósceles congruentes.

Cálculo do volume do tronco de Pirâmide.

O volume do tronco de pirâmide é dado em função das áreas das bases e da altura h. A fórmula para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide qualquer é a seguinte:

Onde

h → é a altura do tronco de pirâmide.
A_B → é a área da base maior.
A_b → é a área da base menor.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Uma pirâmide de base quadrangular é seccionada por um plano paralelo à sua base, a uma altura de 6 cm, produzindo um tronco. Sabendo que a base maior é um quadrado de lado com medida de 8 cm e que a base menor do tronco formado é um quadrado de lado com medida de 3 cm, calcule seu volume.

Solução: Para calcular o volume do tronco de pirâmide é necessário calcular, antes, as áreas das bases maior e menor. Como as bases são quadrados, temos que:

A_B = L² = 8² = 64
A_b = l²=3² = 9

Também sabemos que a altura do tronco é 6 cm, pois é a altura em que o plano intercepta todas as arestas da pirâmide.
Assim, o volume do tronco da pirâmide será:

Exemplo 2. Um frasco de perfume apresenta o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada. Se a altura do frasco é de 5 cm, o lado da base menor mede 2 cm e o da base maior 6 cm, calcule a capacidade desse frasco.

Solução: Sabemos que o frasco tem o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada de altura 5 cm. Vamos calcular a área das bases desse tronco para determinar o valor do volume.

A_B= L² = 6² = 36
A_b= l² = 2² = 4

Assim, o volume será dado por: