De Frente Com a Matemática: Noções Básicas

Uma seção para você se ligar a Matemática

Geometria Plana

A geometria plana, também chamada de geometria elementar ou Euclidiana, teve inicio na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.

Ponto: Não tem definição.

Segmento de Reta: Possui INÍCIO e FIM.

Semi-Reta: Tem INÍCIO e não tem FIM.

Reta: Não tem INÍCIO e nem FIM.

Angulo

1.Definição

É a figura determinada por duas semi-retas de mesma origem.

Representações:

Ô, AÔB, BÔA ou uma letra grega.

A unidade usada para medir ângulos é o GRAU que possui dois submúltiplos: minuto e

segundo.

1º = 60’

1’ = 60”

Entretanto pode-se completar a definição de ângulo, dizendo-se que ângulo é nulo (0 graus) quando seus lados coincidem e raso (180 graus) quando seus lados são semi-retas opostas.

2- Bissetriz

É a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos iguais.

3- Classificação

a) Reto

Quando mede 90º

b) Agudo

Quando sua medida está entre 0º e 90º.

c) Obtuso

Quando sua medida está entre 90º e 180º

4- Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V)

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro.

5- Ângulos complementares e ângulos suplementares

a) Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º - Ex.: 30º e 60º

b) Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º - Ex.: 60º e 120º

Poliedros

Definição:

Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos, de modo que:

dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
cada lado de um polígono é comum a dois somente dois polígonos.

Os polígonos são denominados faces do poliedro. os lados e os vértices dos polígonos denominam-se respectivamente, arestas e vértices do poliedro.

Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer uma de suas faces, está todo num mesmo semiespaço determinado pelo plano que contém essa face. Caso ao contrário o poliedro e dito não convexo.

Observe um exemplo de poliedro não convexo.

De acordo com os números de faces, os poliedros convexos possuem nomes especiais.

Poliedros Regulares.

são sólidos cujas faces são polígonos regulares e geometricamente iguais.

Platão (sábio grego que viveu por volta dos 400 anos a.C) foi quem estudou os polígonos regulares e por isso são designados sólidos de Platão e estavam relacionados na Grécia Antiga às forças da Natureza.

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo vale a relação:

A + 2 = V + F ou V - A + F = 2

Em que:

V: número de vértices
A: número de arestas
F: números de faces

Exemplos:

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6

Portanto, o sólido possui 6 faces.

Exemplo 2 :

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices Arestas Faces
V – A + F = 2 V – A + F = 2 V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2 5 – A + 5 = 2 5 – 8 + F = 2
V = 2 + 3 –A = 2 – 1 0–3 + F = 2
V = 5 –A = –8 x(–1) F = 2 + 3

A = 8 F = 5

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.