terça-feira, 11 de dezembro de 2012

Numeros Complexos

Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente. 

N: conjunto dos números Naturais
Z: conjunto dos números Inteiros
Q: conjunto dos números Racionais
I: conjunto dos números Irracionais
R: conjunto dos números Reais
C: conjunto dos números Complexos
 



Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.


Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Os que sao acompanhados de i, serão a parte imaginaria.
Exemplos de tais números são apresentados na tabela.



Número complexoParte realParte imaginária
2 + 3 i23
2 - 3 i2-3
220
3 i03
-3 i0-3
000


Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.


Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d) 

Z1+Z2 = 2-3i + 5+2i = 7-i


Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)

Z2-Z3= 5+2i - (4-i)
5+2i - 4+i = 1+3i

Potências de i

Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:

i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ...... 


Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo 
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi

Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo 
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro.

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Curiosidade:

Que importância têm os números imaginários na nossa vida?

Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!
No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo electromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para o descrever. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação directa na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.
Existem poucas aplicações directas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indirectas.
Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.

É como tentar perceber uma sombra. 
Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.
No entanto, pensarmos no objecto de três dimensões que a provoca  poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação directa de um mundo no outro.

Da mesma forma, mesmos não existindo aplicação directa entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.
A próxima analogia ajudará a perceber melhor.
Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas.
Efectivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.

Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação directa com esta questão são os naturais.
As fracções, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real. 
No entanto, o seu uso servir-nos para melhor entender uma situação do mundo real.

Da mesma forma, o uso dos complexos ajuda-nos a compreender vários acontecimentos que, directamente, só se relacionam com os números reais.
Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y.
Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinómio, em r, r+ br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjuntos dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.
No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.

Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.

 




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