segunda-feira, 10 de dezembro de 2012

Exercicios de Esfera


 

 


Exercicios de Esfera

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

11-      Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 raiz de 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.

Resposta: se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então:
raio( r ) 2 . 
π . r = 2 . π
r = 1cm
Calculamos o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera, devemos usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.
 
R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm

22-     Um plano alfa secciona uma esfera de raio 20cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 12cm. Calcule a área da secção obtida.

Resposta: igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de Pitágoras:
20² = 12² + r²
r² + 144 = 400
r² = 256
r = 16 cm
O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:
16² . 
π = 256 . π cm²

3-     Dois cubos de metal, de aresta π* cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento do raio dessa esfera?

Resposta: O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos:
 
Cubo 1 = Volume1 = π³
Cubo 2 = Volume2 = (2π)³ = 8π³
V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π³
O volume de uma esféra é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio.
9π³ = 4πR³/3
27π³/4π = R³
R = ³V(27π²/4)

44-     O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então quanto mede o raio da esfera A?

Resposta:
 
Va = Vb/8
4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)
4πR³ = 4π(10)³/8
R³ = 10³/2³
R = 10/2
 R = 5

55-     Um cilindro eqüilátero de volume V encontra- se cheio de água, quando uma esfera, cujo o raio coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Qual o volume de água restante no cilindro em função de V?

Resposta: é o volume que o cilindro tem menos o da esfera:
 
Volume restante: r²π2r - 4πr³/3
Volume restante: (6πr³ - 4πr³)/3
Volume restante: 2πr³/3
Ali está em função do raio, mas podemos igualar o raio a:
v = r²π2r (volume do cilindro)... isolando o raio...
v = 2π
r³ = v/2π
r = ³V(v/2π)

 
Substituindo o valor do raio:

 
Volume restante: 2π[³V(v/2π)]³/3
Volume restante: v/3

  6) (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4cm e a outra com raio de 8cm, são fundidas e moldadasem forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12cm. Determine, em cm, o raio do cilindro.


Resolução:

Esferas são bolas maciças com um eixo central, uma linha que passa pelo centro dividindo a esfera e um ponto central, o centro da esfera, de onde qualquer segmento que dali parta até a extremidade será o raio.

Para calcular a área, que é a casca da esfera temos:
A = 4πR²

Para o volume:
V = 4πR³
       3
Ou seja, tendo o raio, você tem tudo na esfera.

Na questão vamos determinar o volume das esferas que será o volume do cilindro:
Esfera 1
V = 4πR³
       3
V = 4π4³
       3
V = 4π64
       3
V = 256π
         3

Esfera 2
V = 4π8³
       3
V = 4π512
       3
V = 2048π
          3
Somando os volumes:
256π+2048π
   3         3
2304π
   3
768π

Como foram transformadas em um cilindro, temos o volume e a altura, encontramos o raio:
Vcilindro = πR².h
768π = πR².12
768 = 12R²
R²=64
R=8

Resposta: 08


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