Exercicios de Esfera
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
11- Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 raiz de 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.
Resposta: se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então:
raio( r ) 2 . π . r = 2 . π
raio( r ) 2 . π . r = 2 . π
r = 1cm
Calculamos
o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera, devemos
usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio da
esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.
R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm
22- Um
plano alfa secciona uma esfera de raio 20cm. A distância do centro da
esfera ao plano alfa é 12cm. Calcule a área da secção obtida.
Resposta: igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de Pitágoras:
20² = 12² + r²
r² + 144 = 400
r² = 256
r = 16 cm
O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:
16² . π = 256 . π cm²
20² = 12² + r²
r² + 144 = 400
r² = 256
r = 16 cm
O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:
16² . π = 256 . π cm²
3- Dois cubos de metal, de aresta π* cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento do raio dessa esfera?
Resposta: O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos:
Cubo 1 = Volume1 = π³
Cubo 2 = Volume2 = (2π)³ = 8π³
V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π³
O volume de uma esféra é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio.
9π³ = 4πR³/3
27π³/4π = R³
R = ³V(27π²/4)
44- O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então quanto mede o raio da esfera A?
Resposta:
Va = Vb/8
4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)
4πR³ = 4π(10)³/8
R³ = 10³/2³
R = 10/2
4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)
4πR³ = 4π(10)³/8
R³ = 10³/2³
R = 10/2
R = 5
55- Um
cilindro eqüilátero de volume V encontra- se cheio de água, quando uma
esfera, cujo o raio coincide com o raio da base do cilindro, é
mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa
quantidade de água. Qual o volume de água restante no cilindro em função
de V?
Resposta: é o volume que o cilindro tem menos o da esfera:
Volume restante: r²π2r - 4πr³/3
Volume restante: (6πr³ - 4πr³)/3
Volume restante: 2πr³/3
v = r²π2r (volume do cilindro)... isolando o raio...
v = 2πr³
r³ = v/2π
r = ³V(v/2π)
Substituindo o valor do raio:
Volume restante: 2π[³V(v/2π)]³/3
Volume restante: v/3
6) (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4cm e a outra com raio de 8cm, são fundidas e moldadasem forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12cm. Determine, em cm, o raio do cilindro.
Resolução:
Esferas são bolas maciças com um eixo central, uma linha que passa pelo centro dividindo a esfera e um ponto central, o centro da esfera, de onde qualquer segmento que dali parta até a extremidade será o raio.
Para calcular a área, que é a casca da esfera temos:
A = 4πR²
Para o volume:
V = 4πR³
3
Ou seja, tendo o raio, você tem tudo na esfera.
Na questão vamos determinar o volume das esferas que será o volume do cilindro:
Esfera 1
V = 4πR³
3
V = 4π4³
3
V = 4π64
3
V = 256π
3
Esfera 2
V = 4π8³
3
V = 4π512
3
V = 2048π
3
Somando os volumes:
256π+2048π
3 3
2304π
3
768π
Como foram transformadas em um cilindro, temos o volume e a altura, encontramos o raio:
Vcilindro = πR².h
768π = πR².12
768 = 12R²
R²=64
R=8
Resposta: 08
Muito légal!
ResponderExcluirMuito bom , me ajudaram muito a estudar !!
ResponderExcluirEstou aguardando tua visita no blog http://matematico10.blogspot.com.br/
ResponderExcluir